Ini Ulasan Mendalam Fungsi Trigonometri
- www.telegraph.co.uk/University of New South Wales
VIVA – Fungsi Trigonometri merupakan fungsi yang memiliki grafik berulang secara terus menerus dalam suatu periode tertentu. Grafik fungsi dari trigonometdi terdiri dari atas bukit dan lembah yang berulang-ulang secara terus menerus di dalam periode yang dientukan. Kali ini Viva merangkum dari berbagai sumber buku matematika dan meringkasnya mengenai Fungsi Trigonometri;
Sudut sinus, cosinus, dan tangen adalah klasifikasi utama fungsi trigonometri. Dan ketiga fungsi trigonometri lainnya yaitu kotangen, secan, dan cosecan dapat diturunkan dari fungsi primer. Pada dasarnya, tiga fungsi utama sering digunakan dibandingkan dengan fungsi trigonometri primer.
Sinus (lambang: sin; bahasa Inggris: sine) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90 derajat). Nilai sinus positif di kuadran I dan II dan negatif di kuadran III dan IV.
Kosinus atau cosinus (simbol: cos; bahasa Inggris: cosine) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90 derajat). Nilai kosinus positif di kuadran I dan IV dan negatif di kuadran II dan III.
Definisi Fungsi Trigonometri Berdasarkan Lingkaran Satuan
Misalkan C adalah lingkaran satuan dengan persamaan x2 + y2 = 1, yaitu lingkaran yang berpusat di titik asal dengan jari-jari 1.?Titik (1, 0) dinyatakan oleh A, dan misalkan t adalah sembarang bilangan positif. Maka, terdapat tepat satu titik P (x, y) pada C sedemikian sehingga panjang busur AP, yang diukur menurut arah berlawanan dengan putaran jarum jam dari A sepanjang lingkaran satuan, adalah t.
Dari definisi yang diberikan, diperoleh bahwa x dan y bervariasi antara −1 dan 1, sehingga
|sin t| ≤ 1 |cos t| ≤ 1
Karena t dan t + 2? menentukan titik P (x, y) yang sama, maka
sin(2? + t) = sin t cos(2? + t) = cos t
Misalkan titik-titik P1 dan P2 berturut-turut berpadanan dengan t dan –t simetri terhadap sumbu-x.
Lingkaran Satuan 2
- Departemen Matematika UI
Dengan demikian koordinat x-nya akan sama, sedangkan koordinat y-nya hanya berbeda tanda, akibatnya:
sin(−t) = − sin t cos(−t) = cos t
Lingkaran Satuan 3
- Departemen Matematika UI
Jikat=0,makaP =A.?Keliling L adalah 2?; sehingga jika t > 2?, diperlukan lebih dari satu
putaran penuh dari lingkaran satuan untuk menelusuri busur AP .
Demikian juga jika t < 0, maka akan diperoleh persis satu titik P (x, y) pada lingkaran satuan itu, sedemikian sehingga bila kita mengukurnya searah putaran jarum jam pada L, maka panjang busur AP adalah t.
Tangen (lambang tg, tan; bahasa Belanda: tangens; bahasa Inggris: tangent) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi segitiga yang terletak di sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut). segitiga itu 90 derajat). Nilai tangen positif di kuadran I dan III dan negatif di kuadran II dan IV.
Tabel Ringkas Nilai Fungsi Trigonometri
Grafik Fungsi Sinus dan Cosinus
sin t dan cos t keduanya berkisar antara −1 dan 1.?Kedua grafik berulang pada interval yang berdampingan di
sepanjang 2?.?Grafik y = sin t simetri terhadap titik asal, dan grafik y = cos t
simetri terhadap sumbu-y.
Grafik y = sin t sama seperti y = cos t tetapi digeser ?/2 satuan ke kanan.
Rumus-Rumus
1. Rumus Identitas Timbal Balik
- cosec = 1/sin
- detik = 1/cos
- dipan = 1/tan
- sin = 1/cosec
- cos = 1/detik
- tan = 1/cot
2. Rumus Pythagoras
- Sin 2 + Cos 2 = 1
- 1 + Tan 2 ? = Sec 2 ?
- 1 + Cot 2 ? = Cosec 2 ?
3. Rumus Jumlah dan Perbedaan Identitas
- sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
- cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
- tan(x+y) = (tan x + tan y)/ (1−tan x • tan y)
- sin(x–y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
- cos(x–y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
- tan(x−y) = (tan x–tan y)/ (1+tan x • tan y)
4. Rumus Identitas Sudut Ganda
- sin(2x) = 2sin(x) • cos(x) = [2tan x/(1+tan 2 x)]
- cos(2x) = cos 2 (x)–sin 2 (x) = [(1-tan 2 x)/(1+tan 2 x)]
- cos(2x) = 2cos 2 (x)−1 = 1–2sin 2 (x)
- tan(2x) = [2tan(x)]/ [1−tan 2 (x)]
- cot(2x) = [cot 2 (x) - 1]/[2cot(x)]
- dtk (2x) = dtk 2 x/(2 dtk 2 x)
- cosec (2x) = (dtk x cosec x)/2
5. Rumus Identitas Sudut Tiga
- Sin 3x = 3sin x – 4sin 3 x
- Cos 3x = 4cos 3 x-3cos x
- Tan 3x = [3tanx-tan 3 x]/[1-3tan 2 x]
6. Rumus Identitas Produk
- 2sinx⋅cosy=sin(x+y)+sin(x−y)
- 2cosx⋅cosy=cos(x+y)+cos(x−y)
- 2sinx⋅siny=cos(x−y)−cos(x+y)
7. Rumus Jumlah Identitas
- sinx+siny=2sin((x+y)/2) . cos((x−y)/2)
- sinx−siny=2cos((x+y)/2) . dosa((x−y)/2)
- cosx+cosy=2cos((x+y)/2) . cos((x−y)/2)
- cosx−cosy=−2sin((x+y)/2 .sin((x−y)/2
Contoh Soal Fungsi Trigonometri
1. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi trigonometri di bawah in!
a. f(x) = 2 sin 2x + 5
b. f(x) = -3 cos (3(x+90°)) - 8
Penyelesaian:
a. f(x) = 2 sin 2x + 5 → a = 2 , c = 5
Nilai maksimum = |a| + c = |2| + 5 = 7
Nilai minimum = -|a| + c = -|2| + 5 = 3
b. f(x) = -3 cos (3(x+90°)) - 8
f(x) = - 3 cos (3x+270°) - 8 → a = -3 , c = -8
Nilai maksimum = |a| + c = |-3| + (-8) = 3 - 8 = -5
Nilai minimum = -|a| + c = -|-3| + (-8) = -3 - 8 = -11
Siapa Mayat Pria dalam Gardu LRT Pancoran? Sidik Jari Tak Terbaca, Wajah Tak Dikenali
Misteri penemuan mayat pria di dalam gardu listrik LRT kawasan Pancoran, Jakarta Selatan, masih belum terpecahkan. Polisi belum berhasil mengungkap identitas korban.
